В чем состоит гидростатический парадокс? Основы теории плавания тел

Гидростатический парадокс, заключается в том, что вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления, оказываемой ею на дно сосуда. Так, в расширяющихся кверху сосудах сила давления на дно меньше веса жидкости, а в суживающихся – больше. В цилиндрическом сосуде обе силы одинаковы. Если одна и та же жидкость налита до одной и той же высоты в сосуды разной формы, но с одинаковой площадью дна, то, несмотря на различный вес налитой жидкости, сила давления на дно одинакова для всех сосудов и равна весу жидкости в цилиндрическом сосуде. Это следует из того, что давление покоящейся жидкости зависит только от глубины под свободной поверхностью и от плотности жидкости. Объясняется гидростатический парадокс следующим. Поскольку гидростатическое давление всегда нормально к стенкам сосуда, сила давления на наклонные стенки имеет вертикальную составляющую, которая компенсирует вес излишнего против цилиндра объема жидкости в расширяющемся кверху сосуде и вес недостающего против цилиндра объема жидкости в суживающемся кверху сосуде. Гидростатический парадокс обнаружил французский физик Блез Паскаль (1623–1662).

Гидростатический парадокс - свойство жидкостей, заключающееся в том, что сила тяжести жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы, с которой эта жидкость действует на дно сосуда. Причина гидростатического парадокса состоит в том, что жидкость давит не только на дно, но и на стенки сосуда. Вес жидкости в сосуде будет равен сумме высотных составляющих напора по всей внутренней площади сосуда. Если, к примеру, сосуд имеет участки внутренней поверхности, давление на которые направлено вверх, эти участки внесут вклад в вес со знаком минус. Статическое давление жидкости на дно окажется больше, чем вес жидкости, отнесённый к площади дна.

В 1648 г. парадокс продемонстрировал Б. Паскаль. Он вставил в закрытую бочку, наполненную водой, узкую трубку и, поднявшись на балкон второго этажа, влил в эту трубку кружку воды. Из-за малой толщины трубки вода в ней поднялась до большой высоты, и давление в бочке увеличилось настолько, что крепления бочки не выдержали, и она треснула.

Виды движения (течения) жидкости. Основные понятия траектория, линия тока, трубка тока, элементарная струйка.

Линия тока – такая кривая линия, для любой точки которой в выбранный момент времени вектор местной скорости направлен по касательной (о нормальной составляющей скорости речь не идет, поскольку она равна нулю).

Линия тока - это элементарная струйка потока, площадь поперечного сечения которой бесконечно мала.

Совокупность всех линий тока, которые проходят через каждую точку контура потока, образует поверхность, которую называют трубкой тока. Внутри этой трубки движется заключенная в ней жидкость, которую называют струйкой.

Струйка считается элементарной, если рассматриваемый контур бесконечно мал, и конечной, если контур имеет конечную площадку.

Сечение струйки, которое нормально в каждой своей точке к линиям тока, называется живым сечением струйки. В зависимости от конечности или бесконечной малости, площадь струйки принято обозначать, соответственно, ω и dω.

Некоторый объем жидкости, который проходит через живое сечение в единицу времени, называют расходом струйки Q.

Траекторией называется путь, проходимый данной частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени.

Течение жидкости вообще может быть неустановившимся (нестационарным) или установившимся (стационарным).

Неустановившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени изменяются, т.е. u и P зависят не только от координат точки в потоке, но и от момента времени, в который определяются характеристики движения т.е.:

и .

Примером неустановившегося движения может являться вытекание жидкости из опорожняющегося сосуда, при котором уровень жидкости в сосуде постепенно меняется (уменьшается) по мере вытекания жидкости.

Установившееся движение – такое, при котором в любой точке потока скорость движения и давление с течением времени не изменяются, т.е. u и P зависят только от координат точки в потоке, но не зависят от момента времени, в который определяются характеристики движения:

и ,

и, следовательно, , , , .

Пример установившегося движения - вытекание жидкости из сосуда с постоянным уровнем, который не меняется (остаётся постоянным) по мере вытекания жидкости.

16. Типы потоков жидкости, характеристики потоков: живое сечение, смоченный периметр, гидравлический радиус, расход, средняя скорость.

Совокупность элементарных струек жидкости представляет собой поток жидкости. Различают следующие типы потоков (или типы движений жидкости):

Напорные потоки (напорные движения) - это такие, когда поток ограничен твердыми стенками со всех сторон, при этом в любой точке потока давление отличается от атмосферного обычно в большую сторону, но может быть и меньше атмосферного. Движение в этом случае происходит за счёт напора, создаваемого, например, насосом или водонапорной башней. Давление вдоль напорного потока обычно переменное. Такое движение имеет место во всех гидроприводах технологического оборудования, водопроводах, отопительных системах и т.п.

Безнапорные потоки (безнапорные движения) отличаются тем, что поток имеет свободную поверхность, находящуюся под атмосферным давлением. Безнапорное движение происходит под действием сил тяжести самого потока жидкости. Давление в таких потоках примерно одинаково и отличается от атмосферного только за счет глубины потока. Примером такого движения может быть течение воды в реке, канале, ручье.

Свободная струя не имеет твёрдых стенок. Движение происходит под действием сил инерции и веса жидкости. Давление в таком потоке практически равно атмосферному. Пример свободной струи – вытекание жидкости из шланга, крана и т.п.

В гидравлике различают следующие характеристики потока: живое сечение, смоченный периметр, гидравлический радиус, расход, средняя скорость.

Живым сечением потока называется поверхность (поперечное сечение), нормальная ко всем линиям тока, его пересекающим, и лежащая внутри потока жидкости. Площадь живого сечения обозначается буквой Й . Для элементарной струйки жидкости используют понятие живого сечения элементарной струйки (сечение струйки, перпендикулярное линиям тока), площадь которого обозначают через dЙ.

Смоченный периметр потока – линия, по которой жидкость соприкасается с поверхностями русла в данном живом сечении. Длина этой линии обозначается буквой c .

В напорных потоках смоченный периметр совпадает с геометрическим периметром, так как поток жидкости соприкасается со всеми твёрдыми стенками.

Гидравлическим радиусом R потока называется часто используемая в гидравлике величина, представляющая собой отношение площади живого сечения S к смоченному периметру c :

Расход потока жидкости (расход жидкости) – количество жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение потока.

Средняя скорость потока жидкости Vср в данном сечении это не существующая в действительности скорость потока, одинаковая для всех точек данного живого сечения, с которой должна была бы двигаться жидкость, что бы её расход был равен фактическому.

Рассмотрим три сосуда разной формы, заполненные жидкостью до одного уровня h c . Все сосуды такие, что имеют одинаковую площадь дна.

В соответствии с общей формулой определения силы, действующей на плоскую поверхность

можно вычислить силу, действующую на дно сосуда. Для всех трёх сосудов эти силы окажутся одинаковыми и независящими от веса жидкости в сосуде. Но на опору все сосуды будут действовать с разными силами, равными весу сосудов с жидкостью. Этот факт получил название гидростатического парадокса .

Основы теории плавания тел

Будем считать, что в жидкость плотностью ρ погружено тело объёмом V . Выберем систему координат, ось Z которой направим вниз, а оси X и Y вдоль свободной поверхности. Рассмотрим усилия, действующие на тело со стороны жидкости. Все горизонтальные составляющие, как было установлено выше, будут уравновешиваться. Для определения вертикальных составляющих выделим в твёрдом теле элементарный цилиндрический объём с площадью поперечного сечения dS . На торцевые поверхности этого объёма действуют силы dF 1 сверху и dF 2 снизу.

dF 1 будет:

Вертикальная составляющая силы dF 2 будет:

Проинтегрировав это выражение по площади горизонтальной проекции тела, получим:

Это выражение называется законом Архимеда : погруженное в жидкость тело теряет в своём весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Другими словами на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости. Эта сила приложена в точке, которая называется точкой водоизмещения.

В зависимости от отношения веса и выталкивающей силы возможны три состояния тела:

если вес больше выталкивающей силы – тело тонет,

если вес меньше выталкивающей силы – тело всплывает,

если вес равен выталкивающей силе – тело плавает.

Она направлена вертикально вверх и приложена в точке, соответствующей центру давления называемому - центром водоизмещения, количество воды, вытесненной плавающим телом, - водоизмещением.

Рис Плавучесть тела а и 6 - cудно остойчиво

На рисунке показана схема корпуса судна со следующими обозначениями: а-а-плоскость плавания, ограниченная ватерлинией, как контуром; о-о - ось плавания-ось, нормальная к плоскости плавания и проходящая через центр тяжести тела С.

На оси плавания расположены три центра: центр тяжести С, центр водоизмещения D и метацентр М (точка пересечения оси плавания с линией действия архимедовой силы).

Расстояние от метацентра до центра тяжести тела называют метацентрической высотой h м . Приняв за плоскость сравнения – плоскость плавания охарактеризуем остойчивость.

При h м > 0 положение тела будет остойчивым, при h м < 0 - неостойчивым, а при h м =0 тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия.

Плавучесть и остойчивость - ключевые понятия теории плавания тел. Плавучесть - это состояние равновесия твердого тела, частично или полностью погруженного в жидкость. Остойчивость - способность плавающего тела, выведенного из равновесия, восстанавливать исходное положение после прекращения действия сил, вызывающих крен. Крен - положение тела, при котором вертикальная плоскость его симметрии отклонена от вертикали к земной поверхности.

Между соотношениями веса плавающего тела G и его выталкивающей силой Рв возможны три состояния тела, погруженного в жидкость.

Если G > Рв, то тело тонет, так как равнодействующая сил G и Рв направлена вертикально вниз.

Если G < Рв, тело плавает в полупогруженном состоянии (надводное плавание), и при этом равнодействующая сил G и Рв направлена вертикально вверх, поэтому тело всплывает, пока новая уменьшенная выталкивающая сила Рв не будет равна весу тела G (G = Pv ).

Тело плавает в погруженном состоянии в случае G = P в, оно может находиться в устойчивом или неустойчивом равновесии. Чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы его центр тяжести и центр водоизмещения лежали на одной вертикали.

В случае воздействия на плавающее тело внешних сил (ветра, крутого поворота) оно будет отклоняться от положения равновесия (давать крен). При остойчивом плавании тела центр тяжести расположен ниже центра водоизмещения, а после прекращения взаимодействия этих сил тело возвращается в прежнее положение. При неостойчивом плавании центр тяжести тела расположен выше центра водоизмещения, В этом случае тело выведено из состояния равновесия и не может возвратиться в первоначальное положение. Состояние безразличного равновесия характеризуется совпадением центров тяжести и водоизмещения.

Плавучесть тела выражается формулой

где G вес воды;  в - удельный вес воды; V - объем вытесненной телом воды.

Открытие основного закона гидростатики. Опыт Паскаля.

Дата: 1647–1653.

Методы: качественное и полуколичественное исследование.

Прямота эксперимента: прямое наблюдение.

Искусственность изучаемых условий: естественные и искусственные.

Исследуемые фундаментальные принципы: основной закон гидростатики.

Французский ученый Блез Паскаль (1623–1662) прославился и в математике, и в физике, и философии - матери всех наук. Один из важнейших его вкладов в физику связан с изучением гидростатики, т.е. науки о жидкости (газе) в состоянии равновесия (т.е. покоя).

Опыт Паскаля является притчей во языцех в физике: наверное, каждому покажется знакомой гравюра, изображенная ниже. На ней Паскаль, стоя на балконе второго этажа своего дома, наливает в тонкую длинную трубку, вставленную в бочку с водой, пару кружек воды - и бочка трескается, не выдерживая давления большого столба жидкости. Опыт наглядно демонстрирует гидростатический парадокс : сила давления жидкости на дно сосуда оказывается гораздо большей, чем вес этой жидкости.

Итак, по указанию Паскаля дубовую бочку до краев наполнили водой и герметично закрыли. После этого в верхней ее крышке проделали отверстие и вставили в него тонкую длинную трубку, так, чтобы последняя располагалась вертикально. После того, как эту трубку заполнит вода, долитая Паскалем из кружки, давление в бочке увеличится на величину

где - плотность воды, - ускорение свободного падения, а - высота трубки. Если подставить последнее значение в формулу для давления, то мы получаем . Такого избыточного давления, действующего изнутри бочки наружу, как оказывается, вполне достаточно, чтобы сломать крепкое дерево.

Заметим, во-первых, что еще бо льшая сила атмосферного давления давит на бочку, когда последняя открыта и в нее не вставлена тонкая трубка - но эта сила давит как на внешнюю, так и на внутреннюю поверхность стенок бочки. Таким образом, атмосферное давление только сжимает деревянные стенки. Если бы последние были хрупкими по отношению к сжатию, то бочка не выдержала бы и простого атмосферного давления. Во-вторых, если принять диаметр бочки равным одному метру, то получается, что на ее дно давит сила, равная

что соответствует весу твердого тела с массой порядка трех тонн. Сама формула для гидростатического давления (см. выше) является выражением закона Паскаля. Однако этот закон также утверждает, что давление внутри покоящейся жидкости одинаково во всех направлениях. В частности, вода давит на самые нижние части боковых стенок бочки Паскаля с той же силой (на единицу площади), что и на ее дно. В независимости давления от направления Паскаль убедился с помощью другого опыта, а именно опыта с трубкой, названной впоследствии в его честь (см. рис. справа). Трубка Паскаля состоит из цилиндрического стеклянного сосуда, в который вставлен поршень, и полого шара с маленькими отверстиями, надетого на конец сосуда. Если трубку заполнить водой (см. правую трубку на рис.) и надавить на поршень, то из отверстий в шаре польются водяные струйки. По мощности этих струек (а также их средней длине их прямолинейных участков) можно судить о давлении, с которым вода выбрасывается сквозь данное отверстие в шаре. Поскольку эти струйки имеют примерно одинаковые параметры, можно заключить, что давление в жидкости передается равномерно по всем направлениям. Аналогичный опыт проводился с дымом (см. левую трубку на рис.), что позволило заключить, что закон Паскаля справедлив и для газов. Естественно, форму струек искажает гравитационное поле Земли - но повернув трубку вверх ногами, мы увидим, что, несмотря на то, что теперь поршень находится снизу от шара, наблюдается все та же картина: струйки, бьющие вверх, «закругляются» чуть быстрее струек, бьющих вниз. Это говорит о том, что различие в их длине вызвано, в основном, притяжением Земли.

Наконец, формула для гидростатического давления, приведенная в начале данной статьи, заставляет сделать предположение, что атмосферное давление уменьшается с высотой, причем примерно линейно. В этом Паскаль также убедился с использованием ртутного барометра Торричелли, проведя опыты в Париже на башне Сен-Жак, а также сверив их результаты с результатами опытов, проведенных по зятем Флореном Перье у горы Пюи-де-Дом. В честь этих экспериментов на башне Сен-Жак впоследствии был установлен памятник Паскалю.

Также несложный опыт (см. рис. справа) позволяет убедиться в том, что давление жидкости убывает линейно с высотой. В цилиндр, в боковых стенках которого на различной высоте проделаны маленькие отверстия, наливают воду - и, так же, как и в опыте с трубкой Паскаля, наблюдают длины струек из этих отверстий. Как нетрудно увидеть, струя тем сильнее, чем ниже расположено отверстие, что свидетельствует о повышении гидростатического давления под весом столба жидкости.

Помимо своих теоретических выводов, опыты Паскаля и его основной закон гидростатики привели к изобретению им гидравлического пресса (см. рис. справа), который повсеместно используется в современной технике. Если поршни, как на рисунке, находятся на одной высоте, то давление жидкости под ними одинаково и равно . Поршни можно уравновесить, если положить на них грузы массами и , соответственно, чтобы силы тяжести, действующие на эти грузы, уравновешивались силой давления жидкости (см. рис.):

Этот же принцип позволяет с помощью малой силы , приложенной к меньшему поршню, создавать силу , превышающую и действующую на больший, что активно и используется в технике. Конечно же, такое усиление никак не нарушает закон сохранения энергии, поскольку при перемещении меньшего стержня на вниз верхний (в силу сохранения объема жидкости в прессе) сдвигается вверх на меньшее расстояние , и совершаемые работы и равны.

Опыты Паскаля по давлению жидкостей и газов еще раз развенчали восходящую к Аристотелю теорию о «боязни пустоты», которой, в частности, объясняли удержание столбика ртути в трубке барометра Торричелли. Паскаль показал, что подобные явления являются следствием давления, а не обратной силы, силы всасывания, действующей со стороны пустоты, а также что все физические явления встают на свои места, если только принять во внимание давление окружающего нас воздуха.

Наконец, сформулированный на основе опытов Паскаля основной закон гидростатики (закон Паскаля) имеет фундаментальное значение для гидростатики и выражает собой изотропность (независимость от направления) внутренних напряжений, возникающих в жидкостях и газах.

Новейшая книга фактов. Том 3 [Физика, химия и техника. История и археология. Разное] Кондрашов Анатолий Павлович

В чем состоит гидростатический парадокс?

Из книги Энциклопедический словарь (П) автора Брокгауз Ф. А.

Парадокс Парадокс (para-dokew-кажусь) – мнение, расходящееся с общепринятым. П. может выражать собой и истинное мнение, и ложное, в зависимости от того, каким является общепринятое. Стремление к парадоксальным утверждениям, свойственное многим авторам, часто характеризует

Из книги В начале было слово. Афоризмы автора

Парадокс в музыке Парадокс в музыке – все изысканное, странное, а также название певцов или инструменталистов, одержавших первенство на олимпийских

Из книги Все по науке. Афоризмы автора Душенко Константин Васильевич

Цитата. Афоризм. Парадокс Цитаты Цитата: неверное повторение чужих слов. Амброз Бирс (1842–1914?), американский писатель Цитата – это риск под чужую ответственность. Владислав Гжещик (р. 1935), польский сатирик От многих книг остается лишь несколько цитат. Почему бы не писать

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ГИ) автора БСЭ

Парадокс и банальность Парадокс: логичное высказывание об абсурдной действительности. Хенрик Ягодзиньский (р. 1928), польский сатирик Парадокс – это два конца одной истины. Владислав Гжегорчик, польский афорист Дорога к истине вымощена парадоксами. Оскар Уайльд (1854–1900),

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ГР) автора БСЭ

ПАРАДОКС Парадокс: логичное высказывание об абсурдной действительности. Хенрик Ягодзиньский Мы говорим парадоксы за невозможностью найти истины, которые не были бы банальными. Жан Кондорсе Любая точная дефиниция мира будет парадоксом. Станислав Ежи Лец Парадокс –

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЗЕ) автора БСЭ

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ОЛ) автора БСЭ

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПА) автора БСЭ

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ФО) автора БСЭ

Из книги 100 Великих Феноменов автора Непомнящий Николай Николаевич

Из книги 100 великих тайн Вселенной автора Бернацкий Анатолий

Из книги Философский словарь автора Конт-Спонвиль Андре

Из книги автора

Бернадетт Субиру, парадокс из Лурда Город Лурд, расположенный на юге Франции, вероятно, одно из самых известных в христианском мире мест паломничества. Ежегодно его посещают тысячи пилигримов, привлечённых слухами о чудесах и целебных свойствах воды. Откуда у Лурда такая

Из книги автора

Парадокс: холодные звезды Говоря о звездах, мы обычно подразумеваем под этим понятием раскаленные до невероятно высоких температур небесные тела. А температуры там и впрямь гигантские. Ведь даже поверхность ближайшей к нам звезды – Солнца с температурой, равной 6000